答案 D

A48

B52

C56

D60 ✅ 正确答案

可设3月节电量为x，则1月为x/1.2，2月为x/1.5。可列方程x/1.2-x/1.5=4。解得x=24，

则1月为20，2月为16。一季度则为24+20+16=60。

也可设3月节电量为6x，则1月为5x，2月为4x。同理列方程求解即可。

答案 C

A2400

B2700

C3000 ✅ 正确答案

D3300

可设采购M型灯带条数为m、采购N型灯带条数为n。则根据总灯珠数量关系，可列方程

30m=60n×2，根据总价关系，可列方程20m-30n=30000。联立求解可得m=2400，n=600。共采购灯

带2400+600=3000条。

答案 A

A32 ✅ 正确答案

B33

C34

D35

可设去年羊为x、驴为y、牛为z。则根据总数关系，可列方程x+y+z=252；根据去年草料

关系，可列方程100×4=x+2y+5z；根据今年草料关系，可列方程100×4=4y+10z。联立求解可得

z=32，

也可根据“今年没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻了一倍，草场仍恰好满足草料需求”可知去年

驴和牛吃了一半的草料，羊也吃了一半的草料，根据每头羊每年吃1吨，可求得去年羊为200头，驴和

牛则为52头。此时可设牛为x头，则可列方程200=5x+2(52-x)，解得x=32。

答案 C

A少 12 辆

B少 22 辆

C多 12 辆 ✅ 正确答案

D多 22 辆

可设甲公司原汽车数量为5x则乙为4x、丙为3x、丁为2x。根据丙丁关系，可列方程

0.6(3x+4)=2x-1，求解可得x=17，则此时甲公司数量比乙公司5x-4-(4x+1)= x-5=17-5=12。

答案 C

A9

B10

C11 ✅ 正确答案

D12

可设第一天采买次数为2x则第二天为3x、第三天为5x-15、第四天为4x-5。则根据前三天

关系，可列方程10x-15=65，求解可得x=8，则第一天为16、第二天为24、第三天为25、第四天为27。

最多和最少相差11。

1.2 不定方程

常见解法（倍数、奇偶、尾数）：

答案 B

可设甲为x、乙为y、丙为z。则根据总数关系，可列方程28x+32y+33z=400。28x、32y、

400均为4的倍数，所以33z也得是4的倍数。只有B是4的倍数 。

答案 C

B20 支

D22 支

A19 支

C21 支 ✅ 正确答案

可设红为x、黄为y、蓝为z。则根据总数关系，可列方程1.7x+3y+4z=40.6。3y、4z的尾

数均没有小数，所以1.7x的尾数为6，即x的尾数需为8 。当x=28时，1.7×28=47.6＞40.6，所以x不能

取28，最多取18。此时3y+4z=40.6-1.7×18，3y+4z=10，4z和10都是偶数，所以3y也是偶数且不能超

过10，即有y=2，则z=1。笔数最多为18+2+1=21

【答案】&

支。

答案 D

A19、26、35

B19、35、42

C17、27、26

D17、35、40 ✅ 正确答案

可设小孙取走的蛋糕包数为x、小李为y、则小王为2x、小周为2x。则根据总数关系，可

列方程5x+y=256。所以256-y需为5的倍数，而在八个包装盒中 ，只有y=26满足条件，所以5x=230，

x=46，小王取走了92包，只有D项相加为92。

答案 D

A21

B27

C29

D31 ✅ 正确答案

可设销售甲的件数为x、乙为y、丙为z、丁为x。则根据总数关系，可列方程2x+y+z=40；

根据利润关系，可列方程16x+9y+4z=201。联立方程可得8x+5y=41，所5y为偶数，通过假设排除可得

x=2，y=5，根据总数关系方程可解得z=31。

答案 A

可设销售处理受伤次数为x、换人为y、其他情况为z。则根据总数关系，可列方程

x+y+z=10；根据时间关系，可列方程30x+20y+10z=270。联立方程可得y+2z=3，y、z都大于等于1，

所以y =1。

1.3 列表法

答案 C

A6:00

B7:00

C8:00 ✅ 正确答案

D9:00

可设甲12 :00 时收割的面积为3x、则乙为2x、丙为3x-6。则根据总数关系，可列方程8x-

6=50-4×3×2；解得x=4，则乙12 :00 时收割的面积为8，每小时收割2，说明已经工作4小时，8:00开

始工作。

答案 A

A多 6 份 ✅ 正确答案

B多 12 份

C少 6 份

D少 12 份

可设甲有效样本为x、则乙有效样本为36-x、乙无效样本为30-（36-x）=x-6。所以甲品

种的有效样本比乙品种的无效样本x-（x-6）=6。

答案 C

A16 万元

B20 万元

C25 万元 ✅ 正确答案

D36 万元

可设五年前乙家庭的年收入为x、则五年前甲家庭的年收入为49-20/2.5-x=41-x、去年乙

家庭的年收入为1.6x、去年甲家庭的年收入为61.5-1.5x。可列方程61.5-1.5x+1.6x=84-20。解得x=25。

答案 D

A900

B1100

C400

D600 ✅ 正确答案

丙企业的收入上升了 30%且其 2020 年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相同，甲、

乙、丙三家科技企业 2021 年的收入之和比 2020 年提升了 20%。所以甲乙的收入和应该比 2020 年提

升了 10%。可得2020年甲乙的收入和为（400-100）/10%=3000，设2020年甲企业收入为x、乙企业

收入为3000-x。可列方程x+400=2×（3000-x-100）。解得x=1800，则乙为1200，相差600。

1.4 整除倍数法

1.4.1 利用整除特性解决纯整除问题

答案 B

能同时被 2、5 整除尾数只能是0，还要能被3整除那前两位相加需是3的倍数，只有5、7

符合。所以满足条件的为570或750，有两个。

答案 C

能同时被24整除代表能被3和8整除。能被8整除则后三位为8的倍数，所以为792。能被3

整除则数字和为3的倍数，☆+23为3的倍数，只有C满足。

答案 D

A100

B95

C75

D41 ✅ 正确答案

根据等差数列求和公式所有页码加总为205×102=5×41×6×17=85×41×6。所以总页

码加总能被85整除，又因为其余200个页码加总能被85整除，所以这4个页码加总也能被85整除。只有

D项满足。

1.4.2 利用倍数特性解决不定方程

答案 A

可设从财经大学招聘的人数为5x，则政法大学为8x、理工大学为10.4x。所以总数为

23.4x=117x/5，为117的倍数，因总人数为三百多，所以总人数应为351。至少还需6人才能平均分为7

份。

答案 A

A30 人 ✅ 正确答案

B27 人

C23 人

D20 人

其中 50 岁及以上居民占

1

12，女性占

7

16。所以总数为12和16的倍数，因为居民楼居住人数

介于 90 和 110 之间，所以总人数应为96。设30 岁以下居民为x、则30 岁及以上居民为x+20，可列方

程2x+20=96，解得x=38。50 岁及以上居民为8。相差30

答案 A

A60% ✅ 正确答案

B52%

C44%

D36%

甲部门拥有中级工程师职称的人员比为 45%，即甲中级工程师=45%甲部门总人数=9/20

甲部门总人数，所以甲部门总人数为20的倍数。同理可得乙部门总人数为25的倍数，所以甲部门总人

数为20，乙部门总人数为25，所以丙部门总人数为5。甲部门中级工程师人数为9，乙部门中级工程师

人数为8，所以丙部门中级工程师人数为3。丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为3/5=60%。

答案 A

B900 元

D1000 元

A850 元 ✅ 正确答案

C950 元

答案 A

A25 ✅ 正确答案

B50

C100

D200

肉兔中有 87.5%的毛色为黑色，所以黑肉兔=7/8肉兔，肉兔数为8的倍数；同理宠物兔为

100的倍数。因为一共为2200只，所以肉兔数还得是100的倍数，则肉兔数最少为200只，此时白肉兔

为25只。

1.5 赋值法

✎赋零法：

答案 D

A

B

C

D ✅ 正确答案

3 7

4 5

13 18

可设乙的销售额为x，同时根据占比对甲、丙、丁三个公司赋值，则可列方程13+x=1.2（

10+x），解得x=5。占比为5/18

答案 D

A170

B176

C340

D352 ✅ 正确答案

可设春联的单价为x、窗花为y、玩偶为z。根据大班可列方程7x+12y+5z=200，中班可列

方程9x+19y+5z=224。可把y赋为0，则7x+5z=200，9x+5z=224，解得x=12，z=23.2。

10x+10z=352。

答案 B

A6.6

B7.1 ✅ 正确答案

C7.6

D8.1

A1 ∶2 ∶ 1

B2 ∶3 ∶ 1 ✅ 正确答案

C1 ∶ 1 ∶2

D1 ∶ 1 ∶

可设甲的单价为x、乙为y、丙为z。可列方程x+y+z=2.3， 2x+y-z=2.2。可把z赋为0，则

x+y=2.3，2x+y=2.2，解得x=-0.1，y=2.4。x+3y=7.1。

1.6 比例法

答案 D

答案 A

A170 斤 ✅ 正确答案

B212 斤

C255 斤

D298 斤

三组人员人数比为15 ∶6 ∶8，速度之比为 1 ∶ 2 ∶3，所以采摘总量为之比为 15∶ 12 ∶24=5 ∶4

∶8，青年组8对应80，所以总数为170

答案 C

A4

B5

C5 ✅ 正确答案

D3

3

3

2

1

赋值总量为甲乙耗时的最小公倍数150，甲乙效率分别为3、5。设乙干了t

小时，则3×（42-t）+5t=150，得t=12，乙完成60 件，占总量150 的5

2 。答案为C。

答案 C

A6

B7

C8 ✅ 正确答案

D9

根据甲乙丙耗时，赋值总量为60。则甲乙丙效率分别为6、4、3。设最后乙

丙一起干了x 小时。可列式：2×6+3×9+7x=60，得x=3。总耗时2+2+3=8 小时。答案为C。

答案 B

A不到1 小时

B1 小时～1 小时20 分之间 ✅ 正确答案

C1 小时20 分～1 小时40 分之间

D1 小时40 分以上

赋值工作总量为60，甲效率为5，乙效率为3。3×（5+3）+2×5=34，剩余60-34=26，

此时乙效率为3×0.8=2.4，剩余部分需要耗时=26÷（5+2.4）≈3.51 小时，总共3+2+3.51=8.51

小时；原计划60÷8=7.5 小时，比预计长约1.01 小时.答案为B。

答案 B

A10

B12 ✅ 正确答案

C6

D8

赋值总量为12，甲效率为4，乙加丙效率为3。乙

12 -

4

12



乙

=4，解得乙效率

为2，则丙效率为1，丙独立完成需要12 小时，答案为B。（式子不好解时可以考虑简单数

值代入）

答案 B

A9 月5 日

B9 月6 日 ✅ 正确答案

C9 月7 日

D9 月8 日

赋值总量为60，甲效率为3，乙效率为2。3×5+5×3=30，（60－30）÷2=15

天，共计5+3+15=23 天，在8 月份有14 天未干活，干活31-14=17 天，剩余23-17=6 天。

结束日期为9 月6 日。答案为B。

2.2 已知条件为效率比例

答案 B

A6 小时

B6 小时40 分 ✅ 正确答案

C7 小时20 分

D8 小时

赋值甲效率为3，乙效率为2。A 订单为8×3=24；B 订单为8×2=16。甲完成B

用时16÷3=5 小时20 分钟，乙完成A 订单用时24÷2=12 小时。用时少6 小时40 分钟。答案

为B。

答案 A

A早2 天 ✅ 正确答案

B晚2 天

C早4 天

D晚4 天

根据甲效率提升1/4，乙效率提升1/2，甲效率为乙效率2 倍，可设甲效率为

4，乙效率为2。效率提升后甲乙分别为5、3。总量为30×（4+2）=180，6×10+8×10=140，

剩余40÷5=8 天，共计28 天。早2 天。答案为A。

答案 A

A52 ✅ 正确答案

B53

C54

D55

【答案】

赋值甲乙丙效率分别为5、6、4，总量为60×11=660。设甲乙合作x 天，11x+4×

（74-x）=660，得x=52。答案为A。（此题列式后也可以考虑11 的倍数,74-x 等于11 得倍

数，代入选项也可选出答案为A。）

答案 B

A7

B8 ✅ 正确答案

C9

D10

赋值甲效率为5，乙为6，总量为150。150-（5+6）×3-5×2.2×2=95,95÷（11×3）

≈2.9，不到3 天按3 天算。总耗时为8 天。答案为B。

2.3 已知条件为不同完工情况

答案 D

A10

B8

C7

D9 ✅ 正确答案

设张师傅效率为x，李师傅效率为y。5x+9y=7x+6y，得2x=3y。此时赋值x=3，

y=2，总量为33,33-5×3=18,18÷2=9 天。答案为D。

答案 A

A224 ✅ 正确答案

B296

C320

D416

设张师傅效率为x，李师傅效率为y，3x+y=16

5（8x+8y），得x=3y，结合x-y=14，

解得x=21，y=7。总量为28×8=224。答案为A。

答案 D

A3∶6∶10

B4∶8∶15

C6∶3∶2

D10∶5∶3 ✅ 正确答案

设甲效率为x，乙效率为y，4x+4y+6x=20×0.8（x+y），得x=2y，可赋值x=2，

y=1，总量为60。60×60%=10×（3+丙），得丙=0.6。则甲乙丙效率比为2:1:0.6=10:5:3，

答案为D。

答案 D

A1.5

B2

C2.5

D3 ✅ 正确答案

设甲效率为x，乙效率为y。5x+5y+15y=15（x+y），得y=2x。赋值y=2，x=1。

3×（2+丙）+5×（3+丙）=15×（1+2），解得丙=3，则丙效率为甲效率的3 倍。答案为D。

2.4

合作完工问题

答案 A

A20 分钟 ✅ 正确答案

B30 分钟

C40 分钟

D50 分钟

可假设单个仓库的工作量为1，则甲乙丙三人效率之和为0.75÷2= 8

3 。两个仓

库总工作量为2，三人全程无休息，则完成全部任务总时间为2÷ 8

3 = 3

16 小时即5 小时20

分钟即甲工作总时长为5 小时20 分钟，再减去甲在K 工作的5 小时，即可得到甲在L 工作

的总时间为20 分钟，因此本题选择A 选项。

答案 C

A3

B4

C5 ✅ 正确答案

D6

甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8 且两项工程同时开工、耗时8 天同时

完成，则A、B 两项工程的总工作量为（7+9+8）×8=24×8=192，则A 工程总工作量为96。

设丙在A 工程参与施工t 天，则96=7×8+8t，解得t=5，因此本题选择C 选项。

答案 A

A45 ✅ 正确答案

B75

C105

D135

令乙队效率为5，则甲队效率为6，丙队效率为4，A、B 两工程的总工作量为

（6+5+4）×180=2700，则B 工程的工程量为2700÷2.5=1080。则丙队在B 施工天数为

45

4

180

4

180

5

1080









，因此本题选择A 选项。

答案 C

A4 小时

B5 小时

C6 小时 ✅ 正确答案

D7 小时

令工作总量为60，则甲效率为6，乙效率为5，丙效率为4。A、B 两个仓库的

总工作量为（6+5+4）×16=240 ，则A 仓库工作量为120，丙在A 仓库工作时间为

6

4

24

4

16

6

120









小时，因此本题选择C 选项。

2.5

统筹完工问题

答案 C

A24

B26

C28 ✅ 正确答案

D30

甲优先做A 模块，乙优先做B 模块，40 台机械共需120 个A 模块、80 个B 模

块，则甲干完A 模块需要120÷6=20 天，此时乙完成20×2=40 个B 模块，则剩余40 个B

模块由甲乙合作完成，需要40÷（3+2）=8 天，因此至少需要20+8=28 天，本题选择C 选项。

答案 B

A3 小时

B4 小时 ✅ 正确答案

C5 小时

D6 小时

王警官优先梳理甲案件，张警官优先梳理乙案件。王警官1 小时梳理完成甲案

件，则设乙案件工作总量为24，张警官效率为3，王警官效率为4，张警官先梳理1 小时乙

案件，则剩余工作总量为24-3×1=21，剩余工作时间为21÷（3+4）=3 小时，因此至少为

1+3=4 小时，本题选择B 选项。

答案 B

A20

B16 ✅ 正确答案

C12

D10

刘师傅优先加工A 零件，李师傅优先加工B 零件。设B 零件总工作量为120，

则刘师傅效率为4，李师傅效率为5，刘师傅加工完A 零件需要6 天，此时李师傅已完成B

零件工作量为5×6=30。刘师傅和李师傅合作完成剩余B 零件需要90÷（4+5）=10 天，因

此至少需要6+10=16 天，本题选择B 选项。

答案 D

A不到10 小时

B10～15 小时之间

C15～20 小时之间

D超过20 小时 ✅ 正确答案

设A 工程总工作量为126，则甲在A 工程效率为7，甲乙效率和为9，则乙在A

工程效率为2；设B 工程总工作量为90，则乙在B 工程效率为3，甲乙效率和为5，甲在B

工程效率为2。

完成时长最短的方案：甲优先干A 工程，乙优先干B 工程，则甲18 小时先干完A 工程，

此时乙完成B 工程的工作量为3×18=54，则还需（90-54）÷5=7.2 小时，因此完成时长最

短需要25.2 小时。

完成时长最长的方案：甲优先干B 工程，乙优先干A 工程，则甲45 小时干完，此时乙

完成A 工程的工作量为2×45=90，则还需（126-90）÷9=4 小时，因此完成时长最长需要

49 小时。

因此完成时间相差49-25.2=23.8 小时，本题选择D 选项。

2.6

牛吃草问题

答案 D

A14

B13

C12

D11 ✅ 正确答案

白吃牛数量为

1

8

10

8

6

10

5











，则原有草为4×10=40，则4 天内抽完需要的

抽水机台数为40÷4+1=11，因此本题选择D 选项。

答案 D

A50 亿人

B60 亿人

C65 亿人

D70 亿人 ✅ 正确答案

白吃牛数量为

70

200

14000

100

300

100

100

300

80













，因此本题选择D 选项。

答案 D

A4

B5

C6

D7 ✅ 正确答案

白吃牛数量为

5.0

200

300

2

100

1

300











，则原有草数量为（1-0.5）×300=150，

则需要挖沙机数量为

5.6

5.0

25

150





，因此至少需要7 台，本题选择D 选项。

答案 C

A7

B8

C9 ✅ 正确答案

D10

白吃牛数量为

3

40

60

40

6

60

5











，则原有草为（5-3）×60=120，则20 分钟

内全部发完需要开的窗口数量为120÷20+3=9，因此本题选择C 选项。

答案 C

A10

B20

C30 ✅ 正确答案

D40

一头牛吃草量等于两只羊，则10 头牛和10 只羊等价于30 只羊，题干明确10

头牛和10 只羊30 天吃完即30 只羊30 天吃完，因此本题选择C 选项。

答案 D

A14 个

B15 个

C16 个

D17 个 ✅ 正确答案

白吃牛数量为

4

3

6

12

3

8

6











，原有草数量为（8-4）×6=24，则两小时内

不再排队需要的接种台数量为24÷2+4×（1+25%）=12+5=17，因此本题选择D 选项。

答案 C

A星期一

B星期三

C星期四 ✅ 正确答案

D星期五

坑：每隔 4 天＝每 5 天（周期为 5）；每隔 5 天＝每 6 天（周期为 6）；每隔 6 天＝每 7

天（周期为 7）。5、6、7 的最小公倍数为 210，而 210 正好是 7 的倍数，因此下一次相遇仍然在周

四。答案为 C 选项。

答案 B

C10

D11

先粗算：1 ×30＝30 天；再修正：3 月大月要＋1；加上日期差：21－30＝1，30＋1＋1

= 32 天，即 4 月 21 日是第 32 天，3 月 20 号没有计算在这 32 天中，耳题干描述为 3 月 20 日已经开

播，要把这一天算进去所以一共开播了 33 天；

批注 [FT1]: 一共开播 33 天的另一种做法：3 月 20 日开

播，即前 19 天不在开播范围内，因此 3 月有 31-19=12

天；4 月一直到 21 日，因此 4 月有 21 天。一共开播 12

+21=33 天。

33 天可以分为 4 周＋5 天，4 周有 4×2＝8 个周四周五；零的 5 天放在前面则为周四、周五、周

六、周日、周一，则还有2 天也在开播，一共 10 天。

再计算清明节放假期间是否有周四周五。3 月 20 日是周四，＋7 天的 3 月 27 日也是周日，再＋7

为 34→4 月 3 日是周四，4 月4 日为周五，4 月4 是在清明节期间所以不播，要－1。所以共同播出的

天数＝10－1＝9 天，答案为 B 选项

答案 A

A10 月 29 日 ✅ 正确答案

B10 月 30 日

C10 月 28 日

D11 月 30 日

批注 [FT2]: 零头的星期一定是完全一样的（零头放在前

或放在后不影响星期）：如果零的 5 天放在后面：前四周

以周四为起点，每周都是从周四到周三→最后的五天仍

然为周四、周五、周六、周日、周一。

每隔 7 天＝每 8 天（周期为8）；每隔 9 天＝每 10 天（周期为 10）；每隔 11 天＝每 12

天（周期为 12）,8、10、12 的最小公倍数为 120，则下一次在第 120 天再次相遇。

120 天大概是 4 个月，应该在 11 月初附近，首先排除 D 选项。之后随意找一个选项带入即可。

带入 B 选项：7 月 1 日到 10 月 30 日。

先粗算：3×30＝90 天；再修正，7、8 月大月＋2，加上日期差 30－1＝29 天，一共 90＋2+

29=121 天，多算了一天，往前推，则是在 10 月 29 日相遇，答案为 A 选项。

答案 A

A7 月 4 日 ✅ 正确答案

B7 月 5 日

C9 月 1 日

D9 月 2 日

4、5、6 的最小公倍数为 60，60 天大概是 2 个月，应该在 7 月初附近，首先排除 C、D

选项。之后随意找一个选项带入即可。

带入 B 选项：先粗算：2×30＝60；再修正：5 月大月所以＋1；加上日期差为 0，一共有 60+

1=61 天，多算了一天，往前推，则是在 7 月 4 日相遇，答案为 A 选项。

批注 [FT3]: 多位数的最小公倍数计算方法：在提取完多

位数共有的公因子外；任意两数有公因数，就需要提取

公因子，所以能提取两次公因子 2 ，一次是 8 、10 、12

的公因子 2 ，一次是提取后的 4 和6 的公因子 2。因此

8 、10 、12 提取出的最小公倍数为 2×2×2×5×3=120

3.2 星期推算问题

平年一年推后一天，闰年一年推后两天。

【课前笔记】

平年 365 天：365÷7＝52……1，往后推一天；

闰年 366 天：366÷7＝52……2，往后推两天。

如何判断闰年：能被 4 整除（整百的年份要被 400 整除：如 1900 年不是闰年，2000 年是闰

年）。

答案 D

A星期二

B星期三

C星期四

D星期五 ✅ 正确答案

先粗算：5×30＝150 天；再修正：7、8、10 月大月要＋3；加上日期差：10－1＝9。因

此一共 150＋3＋9＝162 天，162÷7＝23……1，往后推一天，12 月 10 日是周五，答案为 D 选项。

答案 B

A星期一

B星期二 ✅ 正确答案

C星期三

D星期四

这 10 年无论是否是闰年都要＋1，所以首先先＋10。

再找闰年（需要多＋1）：24 年、28 年是闰年，有 2 个闰年要再＋2，则一共为 12天， 12÷7=

2……－2，往前推 2 天，所以 110 周年纪念日是周二，答案为 B 选项。

答案 D

A星期四

B星期五

C星期六

D星期日 ✅ 正确答案

3 年首先先＋3，这三年中 24 年为闰年，所以还需再＋1，则一共为 4 天，往后推4

天，因此 3 年后的 3 月 1 日为周日，答案为 D 选项。

3.3 日期星期问题

注意：当月最后剩余 n 天（去掉整周）和当月开始 n 天（去掉整周）星期完全一样。

【课前笔记】

以 4 月 1 日为周四为例。

4 月 1 日是周四，4 月星期数如下所示：4567 1234567 1234567 1234567 12345

4 月一共 30 天，即 4 周零2 天。

如果将零的 2 天放在 4 周前，拆分如下：45 6712345 6712345 6712345 6712345

如果将零的 2 天放在 4 周后，拆分如下：6712345 6712345 6712345 6712345 45

会发现这两天的星期数是不会被影响的。

第 10

答案 A

A星期二 ✅ 正确答案

B星期三

C星期五

D星期六

要推 4 月 1 日，我们可以把零出来的天数放在 3 月底。

3 月一共 31 天，31÷7＝4……3，零出 3 天。每周都有一天图书馆，因此 4 周去过 4 天图书馆，

还差一天，因此零出的 3 天需要再去一次图书馆，即还需要有一个周六。

有以下三种可能

三天的第一天去：周六 周日 周一，因此 4 月 1 日是周二

三天的第二天去：周五 周六 周日，因此 4 月 1 日是周一

三天的第三天去：周四 周五 周六，因此 4 月 1 日是周日。

只有 A 选项在这个范围内，答案为 A 选项。

第 11

答案 D

A星期二

B星期三

C星期四

D星期五 ✅ 正确答案

要推 8 月 1 日，我们可以把零出来的天数放在 7 月底。

7 月一共 31 天，31÷7＝4……3，零出 3 天。召开的协调会与总结会次数相同，说明周一和周五

出现的天数相同，所以我们只要考虑零出的三天即可。

而周一和周五无论如何都不能出现在 3 天之内，所以零出的三天没有周一周五，所以零的三天应

该为周二、周三、周四。往后推一天8 月 1 日应该为周五，答案为 D 选项。

答案 B

A周五

B周四 ✅ 正确答案

C周三

D周二

4 月 20 日在中间，零出的天数放在前面放在后面都可以。

4 月一共 30 天，30÷7=4……2，零出 2 天，4 周已经有 4 个周六周日，还差一个周六周日，因此

零出的两天就是周六和周日。

如果把零出的 2 天放前面，即 4 月 2 日是周日→4 月9 日是周日→4 月 16 日是周日→4 月 20 日

是周四；

如果把零出的 2 天放后面，即 4 月 29 日是周六→4 月 22 日是周六→4 月 20 日是周四。答案为 B

第 12

选项

答案 A

A12 月 30 日，英语 ✅ 正确答案

B12 月 31 日，英语

C12 月 30 日，瑜伽

D12 月 31 日，瑜伽

先判断 9 月份。

9 月一共有 30 天，30÷7＝4……2，零出 2 天；根据 9 月上英语课的次数比上瑜伽课的次数多 2

次，说明零出来的两天只能是周四、周五，即 9 月 30 日是周五。

再计算从 9 月 30 日到 12 月 30 日一共过了多少天。

先粗算：90 天；再修正：＋1；加上日期差 0。因此一共过了91 天。

第 13

91÷7＝13，整除， 因此 12 月 30 日就是周五，最后一次上课即为 12 月 30 日、英语，答案为 A

选项。

答案 D

A星期一

B星期三

C星期四

D星期六 ✅ 正确答案

7 月一共 31 天——4 周零 3 天，当月一共进行了 7 次检修，说明零出的 3 天只能检修一

次，而且 31 日进行了最后一次检修。如果把零出的 3 天放在最后，说明这三天最后一天一定检修，

则只有周六、周日、周一这一种情况。

以此推出前四周的循环为周六——周五，因此 7 月 1 日为周六，答案为 D 选项。

第 14

答案 A

A16 ✅ 正确答案

B17

C18

D19

每周一到周四夜跑，周五到周日休息可知一周夜跑 4 次。

如果是平年，2 月为 28 天正好 4 周，只能夜跑 16 次，实际上跑了 17 次，因此只能是闰年，多

出的这一天是周一到周四的随机一天。

3 月一共有 31 天——4 周零 3 天，而小张夜跑 19 次，减去 4 周的 16 次，还有 3 次，因此，确定

下来多出的三天是周二、周三、周四。

因此 4 月 1 日为周五，4 月一共 30 天——4 周零 2 天，多出的两天是周六、周日， 不夜跑，因此

4 月夜跑 16 天，答案为 A 选项。

批注 [FT4]: 可以想成把 2 月多出的一天放在月后，3 月

多出的 3 天放在月前，这四天就构成了小张夜跑的 4

天，即周一到周四。2 月 29 是周一，3 月 1-3 是周二到

周四。

第 15

【课后总结】

第 16

答案 B

A120ml

B125ml ✅ 正确答案

C135ml

D140ml

方法一：抓溶质不变

设这瓶果汁共有 x ml。

列式得 0.7x＝（x＋50）×0.5，解得 x＝125 ml。

方法二：盐水

果汁

5

=

2

20%

50%

50%

70%

水

0%

第 17

水占 2 份，一共有 50ml，则一份有

答案 A

B20%

D30%

A ✅ 正确答案

C

抓住溶质不变，溶液 1 的溶质＋溶液 2 的溶质＝总溶质

设原溶液浓度为 x

列式： 200x＋100×30%＝150 ×40% 解得 x=15%

批注 [FT5]: 仅看溶液：一开始 200g，又加入 100g，再

蒸发 150g，所以最后溶液质量=200＋100－150 ＝150g

溶液浓度恰好为

的硝酸铵溶液，再蒸发 150 克水后，

25ml，那么果汁有 25×5=

100 克浓度为 30%

15%

25%

125 ml。

第 18

答案 A

A16.20% ✅ 正确答案

B9%

C1.62%

D0.90%

100g 的盐水倒出 40g，浓度不变，仅留下了这部分溶液的 60%，随后又加入了 40g 的水

把溶液又补回到了 100g。整个过程可以看成——溶剂质量不变，溶质质量减少了40%，剩余 60%，因

此只需要每执行一次“倒出 40g 盐水，补 40g 水”的操作，就×60%即可。

因此列式为 75%×60%×60%×60%=16.2%，答案为 A 选项。

答案 A

A100 克 ✅ 正确答案

B110 克

C120 克

D150 克

先看甲瓶，“在甲瓶中加入20 克水……继续在甲瓶中加入 30 克纯酒精，溶液又恢复到

最初浓度”说明 = ，说明原甲瓶溶液浓度和加入的这部分溶液的浓度相等，

甲瓶溶液+50 甲瓶溶液

即 60%。

再看乙瓶，设乙瓶最初的质量为 x

甲瓶溶质+30 甲瓶溶质

第 19

列式：

，（可以直接计算，也使用甲瓶的解法巧解，整理方程得

,因为右侧式子的结果和左式一致，将右侧拆成溶液 1＋溶液 2 的样子，因为浓

度不变，可得原瓶中的浓度和右侧的 15 = 50%一致，即 0.6x = 50% ）解得 x＝100g。

30 x+20

4.1.2 蒸发稀释

【课前笔记】

通过计算浓度的最小公倍数来赋值溶质质量，再还原整个蒸发稀释过程，即可求解。

（注：蒸发稀释过程少的是溶剂，是水。因此要围绕溶质质量不变进行解题。）

答案 C

A10%

B10.5%

C12% ✅ 正确答案

D12.5%

15 和 20 的最小公倍数为 60，设溶质有 60g

第 20

还原蒸发过程：第二次蒸发后为 20%，则溶液质量为

g ，第一次蒸发后为 15%，则溶液

质量为

g

即

根据蒸发掉相同量的水，可得原溶液质量为 500g，则溶度为

l2% ，

答案为 C 选项。

答案 A

A8% ✅ 正确答案

B7.2%

C6.6%

D9.1%

因为最后一次比重降为 4.8%，直接设溶质质量为 48

还原稀释过程：第三次加入镁后为 4.8%，则溶液质量为

l000g ，第二次加入镁后为 6%，

则溶液质量为

g

即

每次加入同样质量的镁，所以可得第一次加入后的溶液质量为 600g，则

溶度为

，答案为 A 选项。

第 21

答案 B

A24%

B28% ✅ 正确答案

C30%

D32%

取 24 和 36 的最小公倍数 72，等设溶质质量为 72

还原蒸发过程：蒸发后为 36%，则溶液质量为

g ，蒸发潜为 24%，则溶液质量为

= 300g 。蒸发过程即

，说明蒸发了 100g 水。

再补 100g 浓度 12%的新溶液，得混合后浓度＝

，答案为 B 选项。

第 22

答案 C

A32%

B25%

C21% ✅ 正确答案

D15%

20 和 30 的最小公倍数为 60，设溶质有 60g

还原蒸发过程：第二次蒸发后为 30%，则溶液质量为

g ，第一次蒸发后为 20%，则溶液

质量为

g

即

同样时间蒸发的水量相同，所以原溶液质量为 400g，正好和题干第一句设

定的溶液量相等，不必再放缩，则原溶液溶度为

。

现在“加入放在太阳下之前浓度的该溶液 300 毫升”，则混合后溶液的浓度=

l% ，答案为 C 选项。

第 23

4.2 类浓度问题

类似资料分析中的已知 3r 求量之比（浓度、平均数、增长率、比重等），多用十字交叉法解题。

答案 D

A30 克

B40 克

C48 克

D60 克 ✅ 正确答案

根据“只将浓度为 72%和 78%的酒精溶液混合，则得浓度为 76%的酒精溶液”可得，72%

溶液的质量：78%溶液的质量=1:2

十字交叉法过程如下：

再根据“将它们全部混合，则可得浓度为 74%的酒精溶液 ”，可以视为将 72%和 78%的酒精溶液混

合后的溶液（3 份 76%的溶液）与68%的溶液混合，得到 74%浓度的溶液。通过十字交叉可得 68%溶液

的质量：72%溶液的质量：78%溶液的质量=1：1：2

十字交叉法过程如下：

76% 6%

因为溶液总质量为 240g，一共 4 份，则一份 60g，所以 72%溶液质量为 60g，答案为 D 选项。

l

74% =

3

72% 2%

l

76% =

2

78% 4%

68% 2%

第 24

答案 D

A7 ∶8

B8 ∶7

C176 ∶ 175

D77 ∶ 100 ✅ 正确答案

来产量的基础上，再根据两者增速算出现期量之比。

先根据十字交叉得到 16 年作物 A 产量：16 年作物 B 产量=7：8

十字交叉法过程如下

作物 A 10%

作物 B 25%

18%

7%

7

=

8

8%

则 17 年作物 A 产量：17 年作物 B 产量=（7×10%）：（8×25%）=7.7:10=77:100，答案为 D 选

项。

16年基期量A ，

17年增量x

坑： 17年增速R ＝ 盐水后求得的是 16 年两者产量之比，所以要在算出

第 25

答案 C

A42

B54

C63 ✅ 正确答案

D77

平均分 = 总分 = 及格学员总分+ 不及格学员总分 ，可以使用盐水。

人数 及格学员人数+ 不及格学员人数

根据“期中考试平均分为68 分，期中考试不及格学员平均分为 53 分，及格学员平均分为 74

分”可得期中考试及格人数：不及格人数＝5:2，总人数为 7 的倍数。

及格

5

=

2

6

根据“期末考试平均分为75 分，期末考试不及格学员平均分为 47 分、及格学员平均分为83

分”可得期末考试及格人数：不及格人数＝7：2，总人数为 9 的倍数。

不及格

68

53

74

15

第 26

28

7

=

2

8

因此总人数既为 7 的倍数，又是 9 的倍数，只有 63 符合题意，答案为 C 选项。

答案 C

A116

B125

C134 ✅ 正确答案

D139

平均时间= = ，可以

人数 获得参赛资格选手人数+未获得参赛资格选手人数

使用盐水。

设规定时间为 x 秒，则获得参赛资格选手的平均完成时间为 x-6，未获得参赛资格选手的平均完

成时间为 x+10。

十字交叉法过程如下：

总时间 获得参赛资格选手总时间+未获得参赛资格选手总时间

不及格

及格

47

83

75

第 27

参赛 x-6

1

=

3

未参赛 x+10

即

，可以解方程，直接解得 x=134.

或者通过选项带入看是否人数之比为 ，以 C 选项为例，

3

,符合题意，答案为 C 选项。

【A、B 选项分子为负，排除；D 选项

，排除】

答案 D

A5 ∶2

B5 ∶ 1

C3 ∶ 1

D2 ∶ 1 ✅ 正确答案

坑：本题求得的是总人数之比。因此式子应该为

占比= = ，需要先将人数化为总人数的占比，再进行

总人数 音乐系总人数+ 美术系总人数

盐水 。

批注 [FT7]: 盐水求得的是分母的量之比，分子不重要；

同时如果这道题直接使用原题的分数，求得的量之比是

两系女生的量之比

男生人数 音乐系男生人数+ 美术系男生人数

x-130

146-x

140

1

第 28

根据“音乐系男女生人数之比为 1∶3”，可得音乐系男生占总人数之比为 1:4；“美术系男女生人

数之比为 2 ∶3”，可得美术系男生占总人数之比为2:5。

通过盐水求得，音乐系总人数；美术系总人数＝2：1，答案为 D 选项。

如果使用女生：总人数仍然可得相同答案

十字交叉过程如下：

音乐系

4

2

=

美术系

5

1

5%

70%

10%

3

3

第 29

【课后总结】

答案 A

A50 ✅ 正确答案

B60

C70

D80

方法一：设单件商品成本为x 元，利用单日利润与降价前相等列方程：（100-x）

×m=（90-x）×1.25m，解得x=50，故该商品单件成本为50 元。

方法二：总利润=单件利润×销量，总利润不变，单件利润与销量成反比，降价前后销

量之比为1：1.25=4：5，那么单件利润之比为5：4，单件利润减少的一份为减少的10 元，

相当于一份是10 元，所以降价前单件利润为50 元，单件商品成本为100-50=50 元。

答案 B

A400～450 元

B450～500 元 ✅ 正确答案

C500～550 元

D550～600 元

方法一：设小家电成本为x 元，定价为y 元，根据题意可列两个方程：

0.9y-x=70...①，0.95y-x=100...②，联立可得x=470，y=600，所以小家电成本所在区间

在450～500 元之间。

方法二：九五折与九折相差0.5 折，两者相差30 元，所以原价为30÷0.05=600 元，打

九折时售价600×0.9=540 元，成本=540-70=470 元。

答案 D

A5 元

B10 元

C15 元

D20 元 ✅ 正确答案

设甲商品单价为x 元，则乙商品单价为（25-x）元，购买了2 件甲商品和4

件乙商品共优惠16 元，可列方程0.2x×2+0.4×（25-x）×4=16，解得x=20，所以甲商品

的单价是20 元。

答案 A

A600 ✅ 正确答案

B700

C800

D900

设乙商品第一天的销量为x，则甲商品第一天的销量为1.5x，所以甲商品第二

天的销量为（1400-1.5x），乙商品第二天的销量为（1900-1.5x）。假设甲、乙单价均为1，

通过“甲、乙两种商品两天的总销售额相等”列方程：1400=x+0.8×（1900-1.5x），解得

x=600，故乙第一天销售600 件。

答案 D

A低于3

B3～4 之间

C4～5 之间

D高于5 ✅ 正确答案

根据题意可列下表：

A 平台销量

A 平台

单件利

润

A 平台总利润

B 平台总利润

B 平台

单件利

润

B 平台销量

乙800

70

×

60%=42

800

×

42=33600

33600

÷

2=16800

70

×

80%=56

16800

÷

56=300

甲90000

÷

30=3000

50

×

60%=30

123600-33600

=90000

123600-16800=

106800

50

×

80%=40

106800

÷

40=2670

乙商品在A、B 两个平台共售出800＋300=1100 件，甲商品在A、B 两个平台共售出

3000+2670=5670 件，所以甲、乙两种商品售出数量之比为5670÷1100＞5。

5.2

分批销售问题

分批销售问题多用方程法解题，可根据利润或收入列方程，即第一批收入+第二批收入

+……=总收入，第一批利润+第二批利润+……=总利润。

答案 C

A7

B7.5

C8 ✅ 正确答案

D8.5

设康乃馨促销时打了x 折，由题意可知每支康乃馨的成本为288÷120=2.4 元，

初期利润为2.4×50%=1.2 元，初期定价为2.4＋1.2=3.6 元，初期售出75%×120=90 支。通

过“最终获得的总利润是初期期望获得总利润的85%”列方程：90×1.2＋30×（3.6x-2.4）

=1.2×120×85%，解得x=0.8，所以打了8 折。

答案 D

A90 个

B100 个

C105 个

D110 个 ✅ 正确答案

成本利润率为19%，则总成本为7410÷19%=39000 元，总销量为39000÷100=390

个，设打7 折售出的路由器有x 个，可列方程：30×（390-x）+（130×0.7-100）×x=7410，

解得x=110。

答案 B

A152

B140 ✅ 正确答案

C130

D125

第一批定价为300÷30=10 元；第二批定价为10-2=8 元，销售金额为380-300=80

元，销量为80÷8=10 个，所以总利润为30×（10-6）+10×（8-6）=140 元。

答案 C

A68%

B51%

C50% ✅ 正确答案

D36%

赋值总量为100，成本为1，设该水果按原价销售的利润率为x，原价=成本+

利润=成本×（1+利润率）=1+x，可列方程：（1+x）×60+（1+x）×0.8×20+20=100+34，

解得x=50%。

5.3

增长率相关经济利润问题

可利用资料分析中，基期、现期、增长率、增长量的思路及间隔增长率、比值增长率、

乘积增长率等公式解题。

答案 C

A不盈不亏

B盈利20 元

C亏损20 元 ✅ 正确答案

D亏损25 元

结合资料分析知识点，其中一张盈利25%可理解为B=150，R=25%，通过415

份数法得X=30；亏损25%可理解为B=150，R=-25%，通过415 份数法得X=-50，所以盈亏情

况为30-50=-20 元。

答案 C

A20%

B15%

C10% ✅ 正确答案

D5%

设每次降价的百分率至少是R，由题意可列方程40×（1-R）（1-R）≦27+27

×20%，即（1-R）

2≦0.81，解得R≧10%，故每次降价的百分率至少是10%。

结合资料分析知识点理解如下图，下图设年均增长率为R：

答案 C

A10 万元/个

B11 万元/个

C12 万元/个 ✅ 正确答案

D13 万元/个

方法一：设第一次开盘时销售额为x，销量为y，平均价格=销售额÷销量，故

15=

x

y；第二次开盘时平均价格=

1.6x

2y =0.8

x

y=0.8×15=12 万元/个。

方法二：结合资料分析知识点，平均价格=销售额÷销量，销售额增速为60%，销量增

速为100%，结合比值增长率公式，平均价格的增速为

60%−100%

1+100%

=−20%，故第二次开盘时平

均价格为15×（1-20%）=12 万元/个。

答案 A

A40% ✅ 正确答案

B50%

C60%

D70%

结合资料分析知识点，A 产品销售收入=销量×价格，销量增速为-30%，价格

增速为0，结合乘积增长率公式，A 产品销售收入增速为：-30%+0+0×（-30%）=-30%。结合

盐水，用十字交叉法可列式：

A

-30%

70%-10%=60%

10%

B

70%

10%-（-30%）=40%

故2021 年A、B 产品的销售额之比为

60%

40% =

3

2，B 产品的销售额占总销售额的比例是

2

5=40%。

答案 C

A18 盒

B15 盒

C14 盒 ✅ 正确答案

D12 盒

设派发口罩数量最少的那栋楼最少派发x 盒口罩，则派发口罩数量最多的楼可派

发2x 盒，其余楼派发口罩数量也要尽量大且数量各不相同，可列出方程：��+ (��−�) + (��−

�) + (��−�) + (��−�) + (��−�) + (��−�) + (��−�) + (��−�) + �= ���，解得x＝14

盒。答案为C。

答案 D

A440

B442.5

C445

D447.5 ✅ 正确答案

根据题意可知甲企业的报价为4 家企业中报价最高的，设甲企业报价最高为x 万

元，其他企业报价应尽量小，根据题干条件可列出方程：�+ (�−���) + (�−��) + (�−��) =

���× ��% × �，解得x＝447.5 万元。答案为D。

答案 D

A9800

B10500

C10700

D11000 ✅ 正确答案

设人口最少得地区有x 人，则最大的区人数为1.1x 人，让其余地区也尽量大，可

列出方程：�. ��× ��+ �= ��. �，解得x＝1.1 万人，答案为D。

答案 D

A13

B14

C15

D16 ✅ 正确答案

设选派人数最少的分公司的选派人数为x，想要最少的人数尽量多，那么总人数要

尽量多，根据题意可知人数最多公司的人数为总人数的1/3，那么总人数最多为117，则人数最

多的公司人数为39，人数各不相同，可列出方程：��+ �+ (�+ �) + (�+ ��) + (�+ �) = ���，

解得x＝16 人。答案为D。

答案 B

A3

B4 ✅ 正确答案

C5

D6

想要A 校毕业生分配到的基层单位尽量少，那么被分配到的每个基层单位收纳的

人数要尽量多，选项最小为3，从3 开始假设，15 个单位人数不相同，则可列出【3、4、5、6、

7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17】加和为150，符合题意，将50 名学生分配给人数

为【17、16、15】这三个单位则还剩余2 名学生未分配，则最少4 个单位。答案为B。

6.2

最不利极限问题

最不利极限问题，解题思路一般是先构造最不利的情况，再“加一”就能保证题目要求。

想最“点背的情况”。例：公务员考试有一科过60 即可通过考试，最“点背”的情况为三

科均59 分，此时再加1 分即可通过。

答案 C

A5

B6

C7 ✅ 正确答案

D8

最不利情况为每个专业都派出2 个人，这样再加1 个人即可满足条件，即2+2+2+1

＝7 人，答案为C。

答案 D

A56

B51

C50

D46 ✅ 正确答案

最不利情况为每个颜色的小球都被9 个人抽出，这样再任意抽1 个球即可满足条

件，即9+9+9+9+9+1＝46 个，答案为D。

答案 C

A20 个

B21 个

C28 个 ✅ 正确答案

D29 个

最不利情况为每个水果店均分到7 箱，那么剩余未分配完的水果分给任意一家水

果店即可满足情况，即201/7＝28 余5，28 家水果店满足题目要求，答案为C。

答案 A

A41 ✅ 正确答案

B42

C61

D62

20 个不同的数字即有20 种不同的礼品，最不利情况为这20 种礼品每种都被2 人

抽取到，这样再来一个人抽取任意一种礼品即可满足题目要求，则为20×2＋1＝41 人，答案为

A。

6.3

函数最值问题

答案 C

A5 元

B6 元

C7 元 ✅ 正确答案

D8 元

总利＝单利×销量，商品现单利为20，销量为100，列出y＝(20-x)(120+20x)，

解出��= ��，��=-6，x＝

��+(−�)

�

= �，答案为C。

答案 D

A51 元

B52 元

C54 元

D57 元 ✅ 正确答案

总利＝单利×销量，商品现单利为4，销量为300，可列出方程：y＝(4+x)(300-10x)，

解得��=−�，��= ��，x＝

��+(−�)

�

= ��，则售价应为44+13＝57，答案为D。

答案 D

A1

B2

C3

D4 ✅ 正确答案

总利＝单利×销量，商品现单利为5，销量为5，可列出方程：y＝(5-x)(5+5x)，

可代入选项试解，定位到D 选项；也可以求出x＝2 时利润最大，则原先x＝0，那么画出抛物线

后可以知道x＝4 时总利润不变，答案为D。

答案 C

A1.05

B1.50

C1.65 ✅ 正确答案

D1.80

总利＝单利×销量，最高档现利润为300，销量为500，降低一个档次可列出方程：

y＝(300-30x)(500+1000x)，解得�1 = 10，�2 =−0.5，�=

10+(−0.5)

2

= 4.75，可画出抛物线，又

已知档次均为整数，故选取距离顶点（4.75）最近的3 个档次，为【4 档、5 档、6 档】代入可

得销量和为500＋1000×4＋500+1000×5＋500＋1000×6＝1.65 万件，答案为C。

答案 B

A不到13 元

B13～15 元之间 ✅ 正确答案

C15～17 元之间

D17 元以上

总利＝单利×销量，商品现单利为2，销量为100，可列出方程：y＝(2＋x)(100-10x)，

解得��=−�，��= ��，x＝

��+(−�)

�

= �，代入式子可得出单利为2＋4＝6 元时，总利y＝6×60

＝360，此时售价为16 元，符合最少获利350 的要求，则选择含有售价16 元的区间，答案为B。

答案 C

A150√3

B50（√3 + 1）

C100√7 ✅ 正确答案

D200√2

通过“AB、AC 分别长100 米和200 米”可知△𝐴𝐵𝐶是30°60°型

的三角形，则∠ABC＝30°，BC＝√3AB＝100√3，又因为△𝐵𝐶𝐷是正三角形，所以

∠ABC＝60°，CD＝BC＝√3AB＝100√3。

而通过观察可以发现∠ACD＝∠ABC + ∠BCD＝30° + 60°＝90°,即△𝐴𝐶𝐷为直角

三角形，一条边为𝐴𝐶＝200，另一条边为𝐶𝐷＝100√3，通过勾股定理可得AD＝√AC2 + CD2

＝√2002 + (100√3)2＝100√22 + √3

2＝100√7。答案为C 选项。

答案 B

A9

B10 ✅ 正确答案

C11

D12

30°

60°

2.4

4

批注 [FT1]: 如果没能发现90°，则需要：

延长 AB 到 E，作ED 垂直AB 于点E，则

，由勾股定

理，

，得到

想要装更多的泡沫板，则需要这辆车在路的中央，同时货物和拱门接触。根

据“半圆形拱门的宽和高分别为8 米和4 米（即d＝8m，r＝4m）”说明这是一个以车底

正中央为圆心的半圆结构。所以我们可以画出如图所示的直角三角形。

上方的直角边为泡沫板宽度的一半，即2.4m，斜边为半圆的半径，根据勾股数（对

4 和2.4 提出0.8，则为5 和3，即3、4、5 这组勾股数）得出竖着的直角边为3.2m，即

ℎ车底+ ℎ泡沫板＝3.2𝑚，ℎ泡沫板＝3.2 −1.1＝2.1m，层数＝2.1 ÷ 0.2＝10.5 层，所以最多可

以装在10 层泡沫板。答案为B 选项。

答案 D

A早不到10 分钟

B早10 分钟以上

C晚不到10 分钟

D晚10 分钟以上 ✅ 正确答案

本题如果熟悉常见勾股数：5、12、13，则可快速解题。

根据“直角三角形斜边为13km”，可知另外两

条边为5km 和12km，则1 小时内，张走了5km，李

张

李

13

5

批注 [FT2]: 这个条件可以验证我们找的勾股数是否正

确。

张距离丙地17km，李距离丙地8km

速度：张5km/h、李3km/h（李是张的60%）

1h：张距离丙地12km，李距离丙地5km

（勾股数5、12、13，正好相距13km）

3h：张走了15km，超过丙地15-12=3km

李走了9km，超过丙地9-5=4km

（勾股数3、4、5，正好相距5km）

走了3km，符合“李的速度是张的60%”，故张和李

的速度为5km/h 和3km/h。

故张经过丙地需要17÷5＝3.4h＝3h 24min，李经过丙地需要8÷3＝

8

3 ℎ＝2h 40min，

两人相差44min，即张比李用时晚10 分钟以上，答案为D 选项。

答案 D

A81.8 米

B89.8 米

C95.8 米

D101.8 米 ✅ 正确答案

风叶转动时叶片顶端最高离地面的距离＝叶片长度OA＋OD（或OE）＋人高，

60°

60

60

60

1.8

45°

12

30°

90°

30°

现在需要求的有OA、OD（或OE）

根据“ 测得塔杆顶部仰角为45° ” 可知△𝑂𝑃𝐸为等腰直角三角形，推出

∠ABC＝45°，OE＝PE＝60，即左图OD＝60，

根据“测得塔杆顶部仰角为60°”，可知△𝑂𝑃𝐷为30°60°型直角三角形和

∠APO＝30°，可推出OP＝60 ×

2

√3 ＝

120

√3 。再根据“风叶之间两两所成的角度为120°”

可得∠AOP＝120° −∠DOP＝120° −30°＝90°，再由上一个条件得出的∠APO＝30°，

可知△𝐴𝑂𝑃也为30°60°型直角三角形，所以OA＝

120

√3 ×

1

√3 ＝40m。因此风叶转动时叶

片顶端最高离地面的距离＝40m＋60m＋1.8m＝101.8m，答案为D 选项。

7.2.2 三角形等底等高

答案 B

A100 平方米

B120 平方米 ✅ 正确答案

C140 平方米

D150 平方米

设𝑆△𝐶𝐸𝐹＝𝑋。

根据“AF＝2EF”， △𝐶𝐸𝐹和△𝐴𝐶𝐹分别以EF、AF 为底，以CE 为共同的高，可得

S△ACF：S△ACF＝1：2，因此S△ACF＝2X。又根据“三角形BEF 和三角形AFC 的面积之差

为10 平方米”，可得X＝10𝑚2。

X

2X

3X

6X

同理，根据“BE＝3EC”，△𝐵𝐸𝐹和△𝐶𝐸𝐹分别以BE、CE 为底，以EF 为共同的高，

可得S△CEF：S△BEF＝1：3，因此S△BEF＝3X。

同理，在△𝐵𝐸𝐹和△𝐴𝐵𝐹中，分别以AF、EF 为底，以BE 为共同的高，可得S△BEF：S△ABF

＝3：6，因此S△BEF＝6X。

所以S△ABC＝X + 2X + 3X + 6X＝12X＝120m2，答案为B 选项。

答案 B

A8

B10 ✅ 正确答案

C11

D12

坑：需要额外增加——工人在第一天完成AOB 的任务后，第二天还会继续工

作，所以再算出剩余三块需要的工人数后，还需要－1 才是需要额外增加的工人数。

本题给的只有比例，所以可以使用赋值法，根据“一名工人花费1 天正好完成AOB 区

域的修剪”，设S△AOB＝1。

根据“距离之比正好为1∶2∶3∶4”，我们使用三角形等底等高来快速解题。

在△𝐴𝑂𝐵和△𝐵𝑂𝐶中，分别以OA、OC 为底，以由B 向AC 作的垂线为高，因为OA：

OC＝1：3，所以S△AOB：S△BOC＝1：3，S△BOC＝3。

1

2

3

4

批注 [FT3]: 在算出12X 的时候，可以不用计算X 是多

少，因为是12 的倍数的只有B 选项。

批注 [FT4]: 本题OA、OB、OC、OD 都不是高，真正的高

是由四个顶点向对应的底做的垂线。

同理在△𝐴𝑂𝐵和△𝐴𝑂𝐷中，S△AOB：S△AOD＝1：2，S△AOD＝2；在△𝐵𝑂𝐶和△𝐶𝑂𝐷

中，S△BOC：S△COD＝2：4，S△AOD＝6.

即S△AOB：S△BOC：S△AOD：S△COD＝1：3：2：6。

因此，剩余三块需要3＋2＋6＝11，额外需要增加11-1＝10 名工人。答案为B 选项。

答案 A

A1.2 ✅ 正确答案

B1.3

C1.4

D1.5

两种方法。

法Ⅰ：连接AE。在△AGF 和△AEG中，都以AG 为底，EB 为高，S△AGF＝S△AEG，现

在阴影部分的就变成了△AED，S△AED＝240 × 100 ×

1

2 ＝1.2 万平方米，答案为A 选项。

法Ⅱ：因为G 位置不固定，可以找极

端思路，假如F 正巧在A 点的正上方，则

E 点和B 点重合。如此，DE 连线时，G 点

就落在了E 点上，阴影部分就变成了△

AED。

因

此

S△AED＝240 × 100 ×

1

2

＝1.2 万平方米，答案为A 选项。

第 10

答案 D

A9

B12

C16

D18 ✅ 正确答案

设阴影部分的面积为1。

首先将上方的△AFC单拆出来看。因

为AE＝EF、AD＝DC，根据中位线的性质可

得DE：FC＝1：2。

再根据三角形相似原理，在△

OED 和△OFC中，因为DE：FC＝1：2，所

以OD：OF＝1：2，OE：OC＝1：2。因此，

在△OED 和△OEF中，有着共同的高，所

以S△OEF = 2；同理在△OED 和△OCD中，

S△OCD = 2 。在△OEF 和△OFC 中，

S△OFC = 4。

第 11

再在△AED 和△DEF中，S△AED = 3

1

2

2

4

3

第 12

再看全图，因为AE=EF=FB，所以S△AEC = S△CEF = S△BCF = 6，所以S△ABC = 18，答案

为D 选项。

7.2.3 矩形与梯形

答案 B

A0.6

B0.8 ✅ 正确答案

C1

D1.25

根据小梯形的上底为X，由小梯形①和②可知小梯形的高也为X，根据小梯

形①和③④可知小梯形的下底为2X。

X

X

X

X

①

②

③

④

第 13

根据大梯形上底长20m，可得X＝10m，因此大梯形的下底为4X＝40m，高为2X=20m。

𝑆大梯形=

（20+40）×20

2

= 600，总产量=110＋115＋125＋130＝480kg，则单位面积产量＝

480

600 = 0.8kg/

m2。答案为B 选项。

答案 B

A280 平方米

B380 平方米 ✅ 正确答案

C420 平方米

D480 平方米

也可以通过公式去理解：以上下底各增加1 米为例，

根据“如果将梯形的上底边增加1 米，下底边增加1 米，则面积将扩大10

平方米”，仅看增加的部分，这部分可以看做是上底为1、下底为1 的梯形（平行四边

形），即𝑆=

(1+1)ℎ

2

= 10，推出h = 10。

同理，根据“将梯形的上底边增加1 倍，下底边增加1 米，则面积将扩大55 平方

米”，仅看增加的部分，这部分是上底为a，下底为1 的梯形，即𝑆=

(𝑎+1)×10

2

= 55，推出a =

第 14

10m。

同理，根据“如果将上底边增加1 米，下底边增加1 倍，则面积将扩大105 平方米”，

仍然仅看增加的部分，这部分是上底为1，下底为b 的梯形，即𝑆=

(1+𝑏)×10

2

=

105，推出b = 20m。

因此，现在“将梯形的上底边增加1 倍还多2 米，下底边增加3 倍还多4 米”，继续

仅看增加的部分，这部分是上底为（a＋2）＝12m，下底为（3b＋4）=64m，高为10m 的梯

形，即𝑆=

(12+64)×10

2

= 380𝑚2，答案为B 选项。

答案 D

A10

B11

C12

D13 ✅ 正确答案

把路往角落移动，把耕地全部放在一起，所以S耕地= (a −路宽) × (b −路宽

) = (64－x)(40－x) = 1377。

第 15

可以用代入法，因为1377 是奇数，所以首先排除A、C，带入B 选项：

(64－11)(40－11) = 53 × 29 = 53 × 30－53 = 1590－53＞1377，估算结果大于1500，

不符，排除；带入D 选项：(64－13)(40－13) = 51 × 27 = 27 + 50 × 27 = 27 + 1350 =

1377，答案为D 选项

7.2.4 圆形与扇形

答案 A

A12(2 + √3) ✅ 正确答案

B12(1 + 2√3)

C12√13

D6(3 + √13)

R=3

r=1

A

B

C

第 16

将两圆圆心记为 A 和 B，作如图所示的直角三角形ABC。

围栏的宽为大圆的直径，d＝6m，现在只需要求围栏的长＝R＋r＋AC。

在△ABC中，AB＝R＋r＝4m，BC＝R－r＝2m，根据勾股定理𝐴𝐶= √42－22 = 2√3，

因此，围栏的长=4＋2√3，S围栏= 6 × (4 + 2√3) = 12(2 + √3)，答案为A 选项。

答案 A

A小不到5 平方米 ✅ 正确答案

B小5 平方米以上

C大不到5 平方米

D大5 平方米以上

将红色三角形圈出的黑色部分为一份，设为x。

第 17

观察可以看出中间灰色部分＝𝑆圆－4x。（中间白色部分正好是4 份x）

再观察右上角由红蓝圈出的小正方形，可推出x＝小正方形-扇形＝4-π

所以灰色部分－黑色部分＝𝑆圆－4x－12x=𝑆圆－16x=4π－16×（4-π）

＝20π-64=62.8-64=-1.2＜5，答案为A 选项。

答案 B

A0.5π

B0.75π ✅ 正确答案

Cπ

D1.5π

秒针转过一圈所经过的长度就是r=4cm 的圆的周长，即C=8π，由于“秒针顶

点累计移动了40π 厘米”，说明秒针走了5 圈，过了5 分钟，对于分针来说，走了

5

60 的扇形

部分，即𝑆=

5

60 𝜋𝑟2 =

1

12 × 𝜋× 9 = 0.75𝜋，答案为B 选项。

第 18

7.3 立体几何

7.3.1 表面积

答案 C

A√2(π + 2)

B2√2(π −2)

C(√2 + 1)π + 2 ✅ 正确答案

D2√2π −2

总表面积=2 个圆形-2 个正方形+圆柱侧面+4 个正方形，其中圆形的直径=√2，

面积=

𝜋

2，周长=√2π，则圆柱侧面积=√2π；正方形边长为1，面积=1；所以总面积=π-

2+√2𝜋+4=(√2 +1)π+2，答案为 C 选项。

批注 [5]: 注意本题可以秒杀，根据题干可知切割之后多

了两个正方形的面积，应选“+2”的选项。

第 19

答案 B

A不到1.1 倍

B1.1～1.2 倍之间 ✅ 正确答案

C1.2～1.3 倍之间

D1.3 倍以上

将零件的半径设为3，则圆柱体的高为2。

黑色面积：白色面积=（半圆+半个侧面）：（半圆+矩形），注：此处不能直接约去半

圆。

（

9𝜋

2 +3π）：（

9𝜋

2 +6）=7.5π：（4.5π+6）=15.7：13.4>1.1

所以答案为B 选项。

第 20

答案 A

A(16 + 2√5)π ✅ 正确答案

B(18 + 2√5)π

C22π

D20π

根据题干可将此零件看作一个礼帽，内外均涂机油，则涂抹面积为：2（帽檐

+圆锥侧面积），帽檐面积=大圆（r=3）-小圆（r=1）=9𝜋-𝜋=8𝜋，圆锥体的侧面积=𝜋rl

（l=√1 + 22=√5）=𝜋×1×√5=√5𝜋，里外都涂，所以面积为两者相加乘2=（8𝜋+√5𝜋）

×2=(16 + 2√5)π，所以正确答案为A 选项。

第 21

7.3.2 体积

答案 A

A4/3 ✅ 正确答案

B3/4

C2/3

D3/2

质量=密度×体积，已知质量相同，所以密度和体积成反比，题干的问题可转

化为𝑉乙：𝑉甲，假设h=1，则𝑟乙=2， 𝑟甲=1， 𝑉乙=

𝑆ℎ

3 =

𝜋×4×1

3

=

4

3 𝜋,𝑉甲=𝜋×1=𝜋,

𝑉乙

𝑉甲

=

4

3𝜋

𝜋=

4

3,所以正

确答案为A 选项。

第 22

答案 A

A5 立方米 ✅ 正确答案

B11 立方米

C12 立方米

D24 立方米

第一种思路：将屋顶补全后，完整的三棱柱体积=底面积×高=

3×1

2 × 4 =6，

现在题干挖去一块，则体积<6,只有A 选项符合。

第二种思路：屋顶体积=小三棱柱体积+四棱锥体积=

3×1

2 ×2+

2×3×1

3

=3+2=5，答案为 A

选项。

第 23

答案 B

A128 −4π立方分米

B ✅ 正确答案

C

D64 −4π立方分米

128

3 −4π立方分米

64

3 −4π立方分米

根据截面图我们可以知道圆柱和棱锥侧面存在交点，所以只能横着切（切面平

行于底边）。在直角三角形ABO 中，DE=

𝐴𝑂

2 =2 分米，我们可以得出E 是BO 的中点，

BE=EO=OF=FC=√2分米，根据题意可知被挖后的体积=𝑉棱锥-𝑉圆柱=

1

3sh-πr2h=

1

3×4√2×4√2×4-

π×√2

2×2=

128

3 -4π，所以正确答案为B 选项。

第 24

7.4 等比例放缩

若两个图形为等比例放缩关系，则满足：对应边长之比为1∶n，面积之比为1∶n

2；若

为立体图形，体积之比为1∶n

3。

答案 A

A4∶5∶16 ✅ 正确答案

B4∶5∶14

C4∶7∶12

D4∶3∶10

𝑋半径=1，𝑌半径=1.5，𝑍半径=2.5,半径之比=边长之比=2：3：5，面积比=4：9：

25，𝑆小圆X：𝑆弯月Y：𝑆弯月Z=4:(9-4):(25-9)=4:5:16,正确答案为A 选项。

第 25

答案 D

A8/27

B19/27

C19/8

D8/19 ✅ 正确答案

小安吃的下面那块是一个小圆锥，原本的冰激凌是大圆锥，根据题意我们可知

ℎ小圆锥：ℎ大圆锥=2：3，则𝑉小圆锥：𝑉大圆锥=8：27，小凡吃的那块体积=27-8=19，则𝑉小安：𝑉小凡=8：

19，正确答案为D 选项。

答案 B

A4 个

B6 个 ✅ 正确答案

C8 个

D9 个

根据题干可知：半径=高/2，𝑉圆锥=

1

3sh=

1

3 𝜋×32×6=18𝜋，题干中说要分成两个

相等的部分，所以一半为9𝜋，𝑉圆锥的一半=

1

3 𝜋𝑟2 ×2r=

2

3 𝜋𝑟3 =9𝜋，计算得出𝑟3 =

27

2 ，

𝑉球=

4

3 𝜋（

𝑟

2 ）

3=

4

3 𝜋×

𝑟3

8 =

9

4 𝜋，18𝜋/

9

4 𝜋=8 个，因为题干要求按75%回收，所以8×75%=6 个，正

确答案为B 选项。

7.5 几何最值